PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2
PENGANTAR
Persamaan differensial orde 2 adalah persmaan yang dapat ditulis dalam bentuk:
F(x,y,y^',y^''=0) atau y^''=f(x,y,y^' )
Untuk persamaan differensial orde 1, y^'=f(x,y), solusinya mempunyai satu buah konstanta. Karena persamaan differensial orde 2 mengandung turunan kedua, maka untyk menentukan solusinya, diperlukan dua kali proses integrasi. Oleh karena itu, solusi persamaan differensial orde 2 akan mempunyai dua buah konstanta.
Secara umum, solusi persamaan differensial orde n akan mempunyai n buah konstanta, karena untuk persamaan differensial orde n diperlukan n kali proses integrasi.
Untuk menentukan solusi tunggal dari persamaan differensial orde 2 diperlukan 2 keadaan khusus, misalnya ditentukan nilai y_0 dan 〖y'〗_0 pada x_0. Kondisi ini dinamakan kondisi awal atau syarat awal.
Teorema: jika fungsi f,f_y' dan f_z kontinu pada setiap titik (x,y,z) dalam suatu ruang tiga dimensi R(x,y,z), dan jika 〖(x〗_0,y_0, z_0) terletak dalam R, maka y= ϕ(x) adalah solusi tutnggal dari persamaan differensial y^''=f(x,y,y^' ) yang memiliki syarat awal 〖y(x〗_0) = y_0, 〖y'(x〗_0)= 〖y'〗_0
Bentuk umum pesamaan differensial linier orde 2 adalah:
P (d^2 y)/〖dx〗^2 +Q dy/dx+Ry = G(x)……………………………………………………..(1)
Dengan menganggap fungsi P, Q, R dan G kontinu pada interval a<x<β ( beberapa hal -∞<x<+∞) dan fungsi P tidak nol, dan dengan membagi persamaan (1) dengan P, diperoleh:
(d^2 y)/〖dx〗^2 +p(x) dy/dx+q(x)y=g(x) ………………………………………………(2)
Contoh persamaan differensial orde 2:
m (d^2 u)/〖dt〗^2 +c du/dt+ku=F(t)
(1-x^2 )y"-2xy'+a(a+1)y=0
x^2 y"+xy'+(x^2-v^2)y=0
Teorema: Jika fungsi p, q dan g kontinu pada interval a<x<β, ada satu dan hanya satu fungsi y=f(x) yang memenuhi persamaan differensial:
y^''+p(x) y^'+q(x)y=g(x)
Dan memenuhi syarat awal:
〖y(x〗_0) = y_0, 〖y'(x〗_0)= 〖y'〗_0
Dengan x_0 terletak dalam interval tersebut.
Fungsi y= ϕ(x) dinamakan solusi khusus atau solusi tunggal.
Reduksi Persamaan Differensial Orde 2 Menjadi Persamaan Differensial Orde 1
Untuk persamaan differensial orde 2 dalam bentuk y”=f(x, y’), substitusikan v = y’, v’ = y”, sehingga persamaan menjadi bentuk pesamaan differensial orde 1.
Contoh:
Tentukan solusi pesamaan differensial berikut:
x^2 y"+2xy'=1,x>0
Jawab:
x^2 y"+2xy'-1=0
Substitusikan v = y’, sehinggga v’ = y”, diperoleh
x^2 v^'+2vx-1=0
Persamaan ini merupakan persamaan differensial orde 1. Dengan metode faktor integrasi, dan membagi persamaan dengan x^2 diperoleh:
v^'+2/x v=1/x^2
Faktor integrasinya: I = e^∫▒〖2/x dx〗=e^2lnx=x^2
Kalikan persamaan dengan faktor integrasi: x^2 v^'+2vx=1
d/dx (x^2 v)=1
x^2 v=∫▒dx+c_1
v=1/x+c_1/x^2
Substitusikan kembali v = y’= dy/dx maka
y = ∫▒vdx
y = ∫▒〖(1/x+c_1/x^2 )dx〗
y = ln〖x-〗 c_1/x+c_2
Jadi solusinya: y = ln〖x-〗 c_1/x+c_2
Untuk persamaan differensial orde 2 yang mempunyai bentuk y”=(y, y’), jika dimisalkan v = y’ akan diperoleh v’= y” = f(x, y, v) sehingga persamaan tersebut mengandung tiga variabel, yaitu x, y dan v. untuk masalah tersebut, eleminasikan variabel x dengan memperlakukan y sebagai variabel bebas, dan menggunakan aturan berikut:
dv/dx=dv/dy.dy/dx=v dv/dy sehingga bentuk persamaan menjadi:
v dv/dy=f(y,v) dan dapat diselesaikan dengan v sebagai fungsi y. hubungan antara x dan y adalah dy/dx=v(y).
Contoh:
Tentukan solusi persamaan differensial berikut: y"+y(〖y)〗^2=0
Jawab:
Dengan demikian v=dy/dx dan dv/dx=y"=v dv/dy, diperoleh
v dv/dy+yv^3=0 persamaan sekaang dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel, sebagai berikut:
v dv/dy+yv^3=0
dv/v^2 =-ydy
Integralkan, diperoleh:
-1/v=-1/2 y^2+c_1
1/v=1/2 y^2-c_1
Substitusikan kembali v=dy/dx diperoleh:
dx/dy=1/2 y^2-c_1 atau dx = (1/2 y^2-c_1 )dy
Integralkan, diperoleh:
x=1/6 y^3-c_1 x+c_2
SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN
Teorema: jika y=y_1 (x) dan y=y_2 (x) adalah solusi persamaan differensial homogen L[y]=y”+p(x)y’+q(x)y = 0.
Maka kombinasi linier y = c_1 y_1 (x)+ c_2 y_2 (x) juga merupakan solusi persamaan diatas.
Teorema: Jika fungsi p dan q kontinu pada interval α<x<β, dan jika y_1 dan y_2 adalah solusi pesamaan differensial: L[y]=y”+p(x)y’+q(x)y = 0.
dan memenuhi kondisi: y_1 (x) 〖y'〗_2 (x)-y_2 (x) 〖y'〗_2≠0 untuk setiap titik pada a<x<β, maka setiap solusi persamaan differensial diatas dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier y_1 dan y_2.
Kombinasi linier yang lebih umum ditulis = c_1 y_1+ c_2 y_2 disebut solusi umum pesamaan differensial tersebut.
Teorema: Jika fungsi p dan q kontinu pada interval a<x<β, dan jika y_1 dan y_2 adalah solusi pesamaan differensial: L[y]=y”+p(x)y’+q(x)y = 0.
Solusi persamaan differensial diatas dapat dapat dinyatakan dalam bentuk:
y = c_1 y_1 (x)+ c_2 y_2 (x)
jika W(y_1, y_2) tidak nol. [W(y_1, y_2)≠0].
KETAKBEBASAN LINIER & WRONSKIAN
Teorema: Jika fungsi p dan q kontinu pada interval a<x<β, dan jika solusi y_1 dan y_2 bebas linier untuk persamaan differensial: L[y]=y”+p(x)y’+q(x)y = 0 maka W(y_1, y_2) tidak nol pada interval α<x<β, sehingga solusi persamaan differensial diatas dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier y_1 dan y_2. Tetapi jika W(y_1, y_2) nol, maka solusi y_1 dan y_2 bergantung linier.
SOLUSI PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN LINIER
Pada bagian ini akan dibahas tentang metode untuk menentukan persamaan differensial linier orde 2 dengan koefisien konstan. Perhatikan persamaan differensial berikut:
L[y] = ay” + by’ + cy = 0
= (aD2 +bD + c) y = 0
Dengan a ≠ 0, b dan c bilangan riil.
Solusi pesamaan differensial: L[y] = ay” + by’ + cy = 0 adalah y= e^rx, dengan r adalah akar-akar persamaan kuadrat, di mana:
r_1,2=(-b±√(b^2-4ac))/2a
Ada tiga kasus dalam menentukan solusi persamaan differensial homogen dengan koefisien konstan, yaitu:
Kasus b^2-4ac >0
Kasus b^2-4ac <0
Kasus b^2-4ac = 0
4.1 Akar-akar Riil dan Tidak Sama
Akar-akar riil dan tidak sama, terjadi jika kasus b^2-4ac>0 yang memberikan dua akar iil dan berbeda r_1dan r_2. Solusi-solusiny adalah e^(r_1 x) dan e^(r_2 x). Karena e^(r_1 x) dan e^(r_2 x) bebas linier, kombonasi linier kedua solusi itu juga merupakan solusi persamaan differensial. Jadi untuk kasus b^2-4ac>0, solusi umum untuk persamaan differensial adalah:
y = c_1 e^(r_1 x) dan c_2 e^(r_2 x)
4.2 Akar-akar Riil dan Sama
Akar-aka riil dan sama terjadi jika b^2-4ac = 0 yang memberrikan dua akar riil dan sama yaitu r_1= r_2= (-b)/2a. Solusi umumnya adalah kombinasi linier e^(-(b/2a)x) dan 〖x.e〗^(-(b/2a)x), yaitu:
y = c_1.e^(-(b/2a)x)+〖c_(2.).x.e〗^(-(b/2a)x)
y = (c_1+〖c_(2.) x)e〗^rx,r= -(b/2a)
4.3 Akar-akar Kompleks
Akar-akar komleks terjadi jika b^2-4ac <0 yang memeberikan dua akar yang bernilai kompleks dalam bentuk λ+ iμ dan λ- iμ, dengan λ dan μ adalah bilangan riil dan i2 = -1.
Solusi umum persamaan differensial jika akar-akar persamaan karakteristik berbentuk bilangan kompleks adalah:
y = 〖c_1.e〗^(λ+ iμ)x+〖c_2.e〗^(λ+ iμ)x
solusi umum persamaan differensial di atas, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari solusi bernilai riil yaitu:
y = 〖c_1.e〗^λx cosμx+〖c_2.e〗^λx sinμx
y = e^λx (c_1 cosμx+c_2 sinμx)
PENGANTAR
Persamaan differensial orde 2 adalah persmaan yang dapat ditulis dalam bentuk:
F(x,y,y^',y^''=0) atau y^''=f(x,y,y^' )
Untuk persamaan differensial orde 1, y^'=f(x,y), solusinya mempunyai satu buah konstanta. Karena persamaan differensial orde 2 mengandung turunan kedua, maka untyk menentukan solusinya, diperlukan dua kali proses integrasi. Oleh karena itu, solusi persamaan differensial orde 2 akan mempunyai dua buah konstanta.
Secara umum, solusi persamaan differensial orde n akan mempunyai n buah konstanta, karena untuk persamaan differensial orde n diperlukan n kali proses integrasi.
Untuk menentukan solusi tunggal dari persamaan differensial orde 2 diperlukan 2 keadaan khusus, misalnya ditentukan nilai y_0 dan 〖y'〗_0 pada x_0. Kondisi ini dinamakan kondisi awal atau syarat awal.
Teorema: jika fungsi f,f_y' dan f_z kontinu pada setiap titik (x,y,z) dalam suatu ruang tiga dimensi R(x,y,z), dan jika 〖(x〗_0,y_0, z_0) terletak dalam R, maka y= ϕ(x) adalah solusi tutnggal dari persamaan differensial y^''=f(x,y,y^' ) yang memiliki syarat awal 〖y(x〗_0) = y_0, 〖y'(x〗_0)= 〖y'〗_0
Bentuk umum pesamaan differensial linier orde 2 adalah:
P (d^2 y)/〖dx〗^2 +Q dy/dx+Ry = G(x)……………………………………………………..(1)
Dengan menganggap fungsi P, Q, R dan G kontinu pada interval a<x<β ( beberapa hal -∞<x<+∞) dan fungsi P tidak nol, dan dengan membagi persamaan (1) dengan P, diperoleh:
(d^2 y)/〖dx〗^2 +p(x) dy/dx+q(x)y=g(x) ………………………………………………(2)
Contoh persamaan differensial orde 2:
m (d^2 u)/〖dt〗^2 +c du/dt+ku=F(t)
(1-x^2 )y"-2xy'+a(a+1)y=0
x^2 y"+xy'+(x^2-v^2)y=0
Teorema: Jika fungsi p, q dan g kontinu pada interval a<x<β, ada satu dan hanya satu fungsi y=f(x) yang memenuhi persamaan differensial:
y^''+p(x) y^'+q(x)y=g(x)
Dan memenuhi syarat awal:
〖y(x〗_0) = y_0, 〖y'(x〗_0)= 〖y'〗_0
Dengan x_0 terletak dalam interval tersebut.
Fungsi y= ϕ(x) dinamakan solusi khusus atau solusi tunggal.
Reduksi Persamaan Differensial Orde 2 Menjadi Persamaan Differensial Orde 1
Untuk persamaan differensial orde 2 dalam bentuk y”=f(x, y’), substitusikan v = y’, v’ = y”, sehingga persamaan menjadi bentuk pesamaan differensial orde 1.
Contoh:
Tentukan solusi pesamaan differensial berikut:
x^2 y"+2xy'=1,x>0
Jawab:
x^2 y"+2xy'-1=0
Substitusikan v = y’, sehinggga v’ = y”, diperoleh
x^2 v^'+2vx-1=0
Persamaan ini merupakan persamaan differensial orde 1. Dengan metode faktor integrasi, dan membagi persamaan dengan x^2 diperoleh:
v^'+2/x v=1/x^2
Faktor integrasinya: I = e^∫▒〖2/x dx〗=e^2lnx=x^2
Kalikan persamaan dengan faktor integrasi: x^2 v^'+2vx=1
d/dx (x^2 v)=1
x^2 v=∫▒dx+c_1
v=1/x+c_1/x^2
Substitusikan kembali v = y’= dy/dx maka
y = ∫▒vdx
y = ∫▒〖(1/x+c_1/x^2 )dx〗
y = ln〖x-〗 c_1/x+c_2
Jadi solusinya: y = ln〖x-〗 c_1/x+c_2
Untuk persamaan differensial orde 2 yang mempunyai bentuk y”=(y, y’), jika dimisalkan v = y’ akan diperoleh v’= y” = f(x, y, v) sehingga persamaan tersebut mengandung tiga variabel, yaitu x, y dan v. untuk masalah tersebut, eleminasikan variabel x dengan memperlakukan y sebagai variabel bebas, dan menggunakan aturan berikut:
dv/dx=dv/dy.dy/dx=v dv/dy sehingga bentuk persamaan menjadi:
v dv/dy=f(y,v) dan dapat diselesaikan dengan v sebagai fungsi y. hubungan antara x dan y adalah dy/dx=v(y).
Contoh:
Tentukan solusi persamaan differensial berikut: y"+y(〖y)〗^2=0
Jawab:
Dengan demikian v=dy/dx dan dv/dx=y"=v dv/dy, diperoleh
v dv/dy+yv^3=0 persamaan sekaang dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel, sebagai berikut:
v dv/dy+yv^3=0
dv/v^2 =-ydy
Integralkan, diperoleh:
-1/v=-1/2 y^2+c_1
1/v=1/2 y^2-c_1
Substitusikan kembali v=dy/dx diperoleh:
dx/dy=1/2 y^2-c_1 atau dx = (1/2 y^2-c_1 )dy
Integralkan, diperoleh:
x=1/6 y^3-c_1 x+c_2
SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN
Teorema: jika y=y_1 (x) dan y=y_2 (x) adalah solusi persamaan differensial homogen L[y]=y”+p(x)y’+q(x)y = 0.
Maka kombinasi linier y = c_1 y_1 (x)+ c_2 y_2 (x) juga merupakan solusi persamaan diatas.
Teorema: Jika fungsi p dan q kontinu pada interval α<x<β, dan jika y_1 dan y_2 adalah solusi pesamaan differensial: L[y]=y”+p(x)y’+q(x)y = 0.
dan memenuhi kondisi: y_1 (x) 〖y'〗_2 (x)-y_2 (x) 〖y'〗_2≠0 untuk setiap titik pada a<x<β, maka setiap solusi persamaan differensial diatas dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier y_1 dan y_2.
Kombinasi linier yang lebih umum ditulis = c_1 y_1+ c_2 y_2 disebut solusi umum pesamaan differensial tersebut.
Teorema: Jika fungsi p dan q kontinu pada interval a<x<β, dan jika y_1 dan y_2 adalah solusi pesamaan differensial: L[y]=y”+p(x)y’+q(x)y = 0.
Solusi persamaan differensial diatas dapat dapat dinyatakan dalam bentuk:
y = c_1 y_1 (x)+ c_2 y_2 (x)
jika W(y_1, y_2) tidak nol. [W(y_1, y_2)≠0].
KETAKBEBASAN LINIER & WRONSKIAN
Teorema: Jika fungsi p dan q kontinu pada interval a<x<β, dan jika solusi y_1 dan y_2 bebas linier untuk persamaan differensial: L[y]=y”+p(x)y’+q(x)y = 0 maka W(y_1, y_2) tidak nol pada interval α<x<β, sehingga solusi persamaan differensial diatas dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier y_1 dan y_2. Tetapi jika W(y_1, y_2) nol, maka solusi y_1 dan y_2 bergantung linier.
SOLUSI PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN LINIER
Pada bagian ini akan dibahas tentang metode untuk menentukan persamaan differensial linier orde 2 dengan koefisien konstan. Perhatikan persamaan differensial berikut:
L[y] = ay” + by’ + cy = 0
= (aD2 +bD + c) y = 0
Dengan a ≠ 0, b dan c bilangan riil.
Solusi pesamaan differensial: L[y] = ay” + by’ + cy = 0 adalah y= e^rx, dengan r adalah akar-akar persamaan kuadrat, di mana:
r_1,2=(-b±√(b^2-4ac))/2a
Ada tiga kasus dalam menentukan solusi persamaan differensial homogen dengan koefisien konstan, yaitu:
Kasus b^2-4ac >0
Kasus b^2-4ac <0
Kasus b^2-4ac = 0
4.1 Akar-akar Riil dan Tidak Sama
Akar-akar riil dan tidak sama, terjadi jika kasus b^2-4ac>0 yang memberikan dua akar iil dan berbeda r_1dan r_2. Solusi-solusiny adalah e^(r_1 x) dan e^(r_2 x). Karena e^(r_1 x) dan e^(r_2 x) bebas linier, kombonasi linier kedua solusi itu juga merupakan solusi persamaan differensial. Jadi untuk kasus b^2-4ac>0, solusi umum untuk persamaan differensial adalah:
y = c_1 e^(r_1 x) dan c_2 e^(r_2 x)
4.2 Akar-akar Riil dan Sama
Akar-aka riil dan sama terjadi jika b^2-4ac = 0 yang memberrikan dua akar riil dan sama yaitu r_1= r_2= (-b)/2a. Solusi umumnya adalah kombinasi linier e^(-(b/2a)x) dan 〖x.e〗^(-(b/2a)x), yaitu:
y = c_1.e^(-(b/2a)x)+〖c_(2.).x.e〗^(-(b/2a)x)
y = (c_1+〖c_(2.) x)e〗^rx,r= -(b/2a)
4.3 Akar-akar Kompleks
Akar-akar komleks terjadi jika b^2-4ac <0 yang memeberikan dua akar yang bernilai kompleks dalam bentuk λ+ iμ dan λ- iμ, dengan λ dan μ adalah bilangan riil dan i2 = -1.
Solusi umum persamaan differensial jika akar-akar persamaan karakteristik berbentuk bilangan kompleks adalah:
y = 〖c_1.e〗^(λ+ iμ)x+〖c_2.e〗^(λ+ iμ)x
solusi umum persamaan differensial di atas, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari solusi bernilai riil yaitu:
y = 〖c_1.e〗^λx cosμx+〖c_2.e〗^λx sinμx
y = e^λx (c_1 cosμx+c_2 sinμx)
